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发信站: BBS 水木清华站 (Thu Jan  7 12:28:25 1999)

本世纪逻辑学最伟大的成果——哥德尔定理，通过句法和语义的互相纠缠，证明了形式
系统存在本质上的局限性。

哥德尔定理涉及到两个系统：形式系统和算术系统。形式系统是一个可有限公理化的符
号逻辑系统，属于句法范畴；算术系统是一个关于自然数构造和运算的数学系统，属于
语义范畴。

一个算术系统中的命题，对应于一个刻划算术系统的形式系统中的逻辑公式，该公式通
过哥德尔编码被映射为算术系统中的数，形式系统中的命题的可证明性、形式系统本身
的协调性等是元层次意义下语义范畴的东西，但在哥德尔编码下可以确定地映射为算术
系统中的命题，即对象层次意义下的语义范畴的东西，而它们回过头来又可以被哥德尔
编码解释为算术系统中的数。在这样的映射和解释关系下，哥德尔证明了这样两个命题：

 （1）在关于算术系统的任何形式系统中，都存在一个这样公式，它在算术系统里被解
      释为“真”，但在该形式系统中是不可证明的；

 （2）关于一个至少包容算术系统的一个数学理论的任何一个形式系统的协调性（经过
      哥德尔编码后）不能在该形式系统内部得到证明。

哥德尔定理的发表，是对本世纪初形式主义学派提出的“Hilbert纲领”的致命打击。

哥德尔定理首先是一个数学上的成果。也就是说，除非你不承认算术，否则你对哥德尔
定理不必有任何怀疑。哥德尔定理告诉我们，以算术为基础、以有限公理化的形式系统
为工具来刻划任何至少象算术系统那种丰富程度的数学理论，必定是不完备的。所谓“
不完备”，一是指“可证明”的命题注定不能覆盖“真”命题，二是指该形式系统自身
的协调性注定不能在该系统内部得到证明（在哥德尔编码意义下）。

哥德尔定理在数学基础和逻辑上的影响是极其巨大的。因为按照哥德尔定理，只有某些
连算术都不能包容的极其贫乏的理论可以用形式化系统自圆其说，否则稍微象点样的数
学理论都不可能以一个形式化系统自圆其说地进行刻划。这就粉碎了用适当的形式化系
统为全部数学建立“基础”的“Hilbert纲领”所确立的目标。以哥德尔定理为分界，
确立了形式系统不能做什么的一个得到普遍接受的边界，使人们放弃了对形式系统的不
切实际的过高期望，使得形式系统在其能做事情的范围内得到健康的发展。

哥德尔定理也对数学和逻辑以外的学科产生了间接的影响。有人根据哥德尔定理断言人
工智能不能做什么，有人根据哥德尔定理断言人类的理性有什么什么缺陷。其实，哥德
尔定理说的只是形式系统如何如何，所有其他的结论都是其他学科的人附会出来的，不
必太过认真，至少不能当作数学定理来对待：人类理性和人工智能都不是数学对象，数
学定理是管不着它们的！如果做为数学定理的应用，那要看你对相应领域所做的数学抽
象是否正确。而如果你做了错误的数学抽象，哥德尔定理再伟大也救不了你。